Stratified sampling/de

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Stratifizierte Stichprobe

Die stratifizierte Stichprobe (oder geschichtete Stichprobe) ist kein eigentliches Stichprobenverfahren, sondern eine Vorgehensweise um eine Grundgesamtheit in kleinere und in sich homogenere Untereinheiten (Straten, Schichten) aufzuteilen. Diese Aufteilung kann entweder vor der Stichprobenerfassung oder auch nach der Stichprobenziehung (Post-Stratifizierung) in der gewonnenen Datengrundlage durchgeführt werden.

Die stratifizierte Stichprobe ist besonders dann effizient, wenn die Variabilität innerhalb eines Stratums kleiner ist als innerhalb der Grundgesamtheit . In diesem Fall kann mit dem gleichen Stichprobenumfang die Genauigkeit und Präzision der Stichprobe verbessert werden. Es gibt weitere statistische aber auch praktische Überlegungen, die eine Stratifizierung unter bestimmten Bedingungen sinnvoll machen. Voraussetzungen für die Stratifizierung ist, dass sich die in nicht überlappende und homogenere Straten unterteilen werden kann. Hierfür sind Informationen über die Population nötig, die zu einer Aufteilung herangezogen werden können. In forstlichen Inventuren können das Forsteinrichtungsdaten oder aber Fernerkundungsdaten sein. Am günstigsten ist es die Grundgesamtheit nach der Ausprägung der Zielgröße aufzuteilen. Da diese nicht bekannt ist, werden Merkmale verwendet, die möglichst hoch mit der Zielgröße korrelliert sind. In Waldbeständen kann z.B. die Altersklasse von Beständen ein gutes Stratifizierungsmerkmal für die Zielgröße Volumen pro ha sein.

Argumente für eine Stratifizierung

Die Aufteilung der Grundgesamtheit in einzelne Straten, ermöglicht es Teilpopulationen getrennt zu betrachten. Hierdurch ergeben sich statistische aber auch praktische Vorteile, die dieses Verfahren für die Forstwissenschaft sehr interessant machen. Nahezu alle größeren Waldinventuren sind daher stratifizierte Stichproben.

Statistische Gründe

• Die räumliche Verteilung von zufällig gewählten Stichprobenpunkten ist gleichmäßiger über die Grundgesamtheit verteilt, wenn die Stichproben in einzelnen Straten liegen,
• In jedem Stratum kann ein optimales individuelles Stichprobenverfahren angewendet werden,
• Die Präzision der Stichprobe erhöht sich, wenn die oben genannten Voraussetzungen erfüllt sind,
• Die Aufteilung in Straten ermöglicht es später auch getrennte Aussagen über die Teilpupulationen zu erhalten,
• Es ist sichergestellt, dass Beobachtungen aus allen Straten vorhanden sind.

Praktische Gründe

• Die Möglichkeit verschiedene Verfahren in einzelnen Teilpopulationen durchführen zu können, erhöht die Effizienz und kann Kosten senken,
• Die Feldarbeit kann einfacher organisiert werden (einzelne Aufnahmetrupps können unterschiedliche Straten bearbeiten),
• Es ist eine höhere Spezialisierung der Aufnahmeteams möglich.

Stratifizierungskriterien

Zur Stratenbildung können verschiedene Kriterien als Stratifizierungsmerkmal herangezogen werden. Falls der Grund für eine Stratifizierung nicht die erhöhung der Präzision der Schätzung ist, müssen diese nicht in jedem Fall mit der Zielgröße korrelliert sein. Unter bestimmten Umständen ist eine Aufteilung der Grundgesamtheit auch dann sinnvoll, wenn sich aus statistischer Sicht keine nennenswerte Verbesserung der Schätzung ergibt. Dies ist z.B. der Fall, wenn politische Grenzen eine räumliche Aufteilung von Waldgebieten vorgiebt, weil Inventurergebnisse für jede einzelne Region benötigt werden. Hierbei können auch in sich homogene Flächen einzeln betrachtet werden. Weitere denkbare Stratifizierungsmerkmale sind z.B.:

• Topografische Gegebenheiten (z.B. Höhenschichten),
• unterschiedliche Bestandestypen,
• Altersklassen (nicht in Naturwäldern)
• Bodentypen, Nährstoffversorgung,
• Wuchsgebiete,
• Baumarten,
• ...

Weiterhin können auch die Inventurkosten als Stratifizierungskriterium berücksichtigt werden. Diese sind normalerweise mit den oben genannten Kriterien korrelliert. So könnte z.B. eine Stratifizierung nach Hangneigungsstufen denkbar sein, wenn die Kosten (zeitbedarf) der Feldaufnahmen zwischen den Straten erheblich variieren. Möchte man die Aufnahmekosten bei der Herleitung der Verteilung von Stichproben auf einzelne Straten berücksichtigen, könnte das in diesem Fall zu einem anderen Ergebnis führen als eine einfache Verteilung (Allokation) der Stichprobenpunkte.

Statistik

Die Schätzer für die Stratifizierte Stichprobe beruhen auf einfachen Linearkombinationen. Angenommen wir betrachten zwei unabhängige Zufallsvariablen \(Y_1\,\) und \(Y_2\,\) und interessieren uns für die Summe der beiden\(Y_1+Y_2\,\), dann ist

\[E(Y_1+Y_2)=E(Y_1)+E(Y_2)\,\] und

\[var(Y_1+Y_2)=var(Y_1)+var(Y_2)\,\]

In einfachen Worten: Der Erwartungswert E der Summe beider Variablen ist gleich der Summe der einzelnen Erwartungswerte.

Wenn \(Y_1\,\) und \(Y_2\,\) Schätzungen aus den zwei Straten 1 und 2 sind können wir diese Grundlagen für die Stratifizierte Stichprobe nutzen.

Ist die zu Schätzende Zielgröße beispielsweise ein Mittelwert (z.B. mittleres Volumen pro ha) müssen wir bedenken, dass die Straten eventuell ungleich groß sind. Im Fall von gleichgroßen Straten gilt:

\[\frac 12 (Y_1+Y_2)=\frac 12 Y_1+\frac 12Y_2=c_1Y_1+c_2Y_2\,\]

Der factor \(c\,\) kann als Gewichtungsfaktor der einzelnen Schätzungen aus 1 und 2 angesehen werden. Da hier beide Straten den gleichen Umfang haben, ist hier \(c_1=c_2\,\).

Der Normalfall wird eher sein, dass die Straten ungleich groß sind. Wir müssen die Schätzungen aus den einzelnen Straten daher unterschiedlich gewichten.

Eine Gewichtung einzelner Teilergebnisse (oder Schätzungen) ist immer dann wichtig, wenn die Teilergebnisse aus unterschiedlich großen Teilpopulationen stammen. Einfaches Beispiel: Es soll das mittlere Körpergewicht von 50 Studenten ermittelt werden. Es wurde ein Mittleres Körpergewicht der 15 Frauen (55 Kg) und ein Mittelwert für die 35 Männer (73 Kg) berechnet. Würden wir einen ungewichteten Mittelwert über beide Gruppen berechnen (64 Kg) wäre das falsch. Richtig ist 15/50*55+35/50*73=67,6 Kg!

Die Gewichte