Stratified sampling/de

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Stratifizierte Stichprobe

Die stratifizierte Stichprobe (oder geschichtete Stichprobe) ist kein eigentliches Stichprobenverfahren, sondern eine Vorgehensweise um eine Grundgesamtheit in kleinere und in sich homogenere Untereinheiten (Straten, Schichten) aufzuteilen. Diese Aufteilung kann entweder vor der Stichprobenerfassung oder auch nach der Stichprobenziehung (Post-Stratifizierung) in der gewonnenen Datengrundlage durchgeführt werden.

Die stratifizierte Stichprobe ist besonders dann effizient, wenn die Variabilität innerhalb eines Stratums kleiner ist als innerhalb der Grundgesamtheit (Akca 2001). In diesem Fall kann mit dem gleichen Stichprobenumfang die Genauigkeit und Präzision der Stichprobe verbessert werden. Es gibt weitere statistische aber auch praktische Überlegungen, die eine Stratifizierung unter bestimmten Bedingungen sinnvoll machen. Voraussetzungen für die Stratifizierung ist, dass sich die in nicht überlappende und homogenere Straten unterteilen werden kann. Hierfür sind Informationen über die Population nötig, die zu einer Aufteilung herangezogen werden können. In forstlichen Inventuren können das Forsteinrichtungsdaten oder aber Fernerkundungsdaten sein. Am günstigsten ist es die Grundgesamtheit nach der Ausprägung der Zielgröße aufzuteilen. Da diese nicht bekannt ist, werden Merkmale verwendet, die möglichst hoch mit der Zielgröße korrelliert sind. In Waldbeständen kann z.B. die Altersklasse von Beständen ein gutes Stratifizierungsmerkmal für die Zielgröße Volumen pro ha sein.

Argumente für eine Stratifizierung

Die Aufteilung der Grundgesamtheit in einzelne Straten, ermöglicht es Teilpopulationen getrennt zu betrachten. Hierdurch ergeben sich statistische aber auch praktische Vorteile, die dieses Verfahren für die Forstwissenschaft sehr interessant machen. Nahezu alle größeren Waldinventuren sind daher stratifizierte Stichproben.

Statistische Gründe

• Die räumliche Verteilung von zufällig gewählten Stichprobenpunkten ist gleichmäßiger über die Grundgesamtheit verteilt, wenn die Stichproben in einzelnen Straten liegen,
• In jedem Stratum kann ein optimales individuelles Stichprobenverfahren angewendet werden,
• Die Präzision der Stichprobe erhöht sich, wenn die oben genannten Voraussetzungen erfüllt sind,
• Die Aufteilung in Straten ermöglicht es später auch getrennte Aussagen über die Teilpupulationen zu erhalten,
• Es ist sichergestellt, dass Beobachtungen aus allen Straten vorhanden sind.

Praktische Gründe

• Die Möglichkeit verschiedene Verfahren in einzelnen Teilpopulationen durchführen zu können, erhöht die Effizienz und kann Kosten senken,
• Die Feldarbeit kann einfacher organisiert werden (einzelne Aufnahmetrupps können unterschiedliche Straten bearbeiten),
• Es ist eine höhere Spezialisierung der Aufnahmeteams möglich.

Stratifizierungskriterien

Zur Stratenbildung können verschiedene Kriterien als Stratifizierungsmerkmal herangezogen werden. Falls der Grund für eine Stratifizierung nicht die erhöhung der Präzision der Schätzung ist, müssen diese nicht in jedem Fall mit der Zielgröße korrelliert sein. Unter bestimmten Umständen ist eine Aufteilung der Grundgesamtheit auch dann sinnvoll, wenn sich aus statistischer Sicht keine nennenswerte Verbesserung der Schätzung ergibt. Dies ist z.B. der Fall, wenn politische Grenzen eine räumliche Aufteilung von Waldgebieten vorgiebt, weil Inventurergebnisse für jede einzelne Region benötigt werden. Hierbei können auch in sich homogene Flächen einzeln betrachtet werden. Weitere denkbare Stratifizierungsmerkmale sind z.B.:

• Topografische Gegebenheiten (z.B. Höhenschichten),
• unterschiedliche Bestandestypen,
• Altersklassen (nicht in Naturwäldern)
• Bodentypen, Nährstoffversorgung,
• Wuchsgebiete,
• Baumarten,
• ...

Weiterhin können auch die Inventurkosten als Stratifizierungskriterium berücksichtigt werden. Diese sind normalerweise mit den oben genannten Kriterien korrelliert. So könnte z.B. eine Stratifizierung nach Hangneigungsstufen denkbar sein, wenn die Kosten (zeitbedarf) der Feldaufnahmen zwischen den Straten erheblich variieren. Möchte man die Aufnahmekosten bei der Herleitung der Verteilung von Stichproben auf einzelne Straten berücksichtigen, könnte das in diesem Fall zu einem anderen Ergebnis führen als eine einfache Verteilung (Allokation) der Stichprobenpunkte.

Statistik

Die Schätzer für die Stratifizierte Stichprobe beruhen auf einfachen Linearkombinationen. Angenommen wir betrachten zwei unabhängige Zufallsvariablen \(Y_1\,\) und \(Y_2\,\) und interessieren uns für die Summe der beiden \(Y_1+Y_2\,\), dann ist

\[E(Y_1+Y_2)=E(Y_1)+E(Y_2)\,\] und

\[var(Y_1+Y_2)=var(Y_1)+var(Y_2)\,\]

In einfachen Worten: Der Erwartungswert E der Summe beider Variablen ist gleich der Summe der einzelnen Erwartungswerte.

Wenn \(Y_1\,\) und \(Y_2\,\) Schätzungen aus den zwei Straten 1 und 2 sind können wir diese Grundlagen für die Stratifizierte Stichprobe nutzen.

Ist die zu Schätzende Zielgröße beispielsweise ein Mittelwert (z.B. mittleres Volumen pro ha) müssen wir bedenken, dass die Straten eventuell ungleich groß sind. Im Fall von gleichgroßen Straten gilt:

\[\frac 12 (Y_1+Y_2)=\frac 12 Y_1+\frac 12Y_2=c_1Y_1+c_2Y_2\,\]

Der factor \(c\,\) kann als Gewichtungsfaktor der einzelnen Schätzungen aus 1 und 2 angesehen werden. Da hier beide Straten den gleichen Umfang haben, ist hier \(c_1=c_2\,\).

Der Normalfall wird eher sein, dass die Straten ungleich groß sind. Wir müssen die Schätzungen aus den einzelnen Straten daher unterschiedlich gewichten.

Eine Gewichtung einzelner Teilergebnisse (oder Schätzungen) ist immer dann wichtig, wenn die Teilergebnisse aus unterschiedlich großen
Teilpopulationen stammen und hieraus ein Gesamtergebnis berechnet werden soll. Einfaches Beispiel: Es soll das mittlere Körpergewicht 
von 50 Studenten ermittelt werden. Es wurde ein Mittleres Körpergewicht der 15 Frauen (55 Kg) und ein Mittelwert für die 35 Männer 
(73 Kg) berechnet. Würden wir einen ungewichteten Mittelwert über beide Gruppen berechnen (64 Kg) wäre das falsch. Richtig ist 
15/50*55+35/50*73=67,6 Kg!
Die Gewichte 15/50 bzw. 35/50 sind dabei Ausdruck des Anteils dieser Gruppe an der Gesamtpopulation.

Die Gewichte müssen hierbei proportional zur Größe der Teilpopulationen in den jeweiligen Straten sein. Im Rahmen von Inventuren besteht die Population in den meisten Fällen aus einer unendlichen Zahl von möglichen Stichprobenpunkten, deren Größe wir durch die Fläche der einzelnen Straten ausdrücken. Die Summe der einzelnen Gewichte muss 1 sein, es gilt also:

\[\sum c_i=1\,\]

Der Erwartungswert E für ungleich große Straten ist daher:

\[E(c_1Y_1+c_2Y_2)=E(c_1Y_1)+E(c_2Y_2)=c_1E(Y_1)+c_2E(Y_2)\,\] , wobei \(c_1 \not= c_2\,\) ist, oder

\[E(\sum c_iY_i)=\sum c_iE(Y_i)\,\].

Analog ist die Varianz:

\[var(c_1Y_1+c_2Y_2)=var(c_1Y_1)+var(c_2Y_2)=c_1^2var(Y_1)+c_2^2var(Y_2)\,\] , oder

\[var(\sum c_iY_i)=\sum c_i^2var(Y_i)\,\].

Beachte: Immer wenn eine Varianz erweitert (oder wie hier durch einen Gewichtungsfaktor reduziert) wird, muss der Faktor quadriert 
werden, da die Varianz eine quadratische Größe ist!

Notation

Notation	Bedeutung
\(L\,\)	Anzahl der Straten \(h=1, ... , L \,\)
\(N\,\)	Gesamtgröße der Population
\(N_h\,\)	Größe des Stratums \(h (N=sum N_h)\,\)
\(\bar y\,\)	Geschätzter Mittelwert der Population
\(\bar y_h\,\)	Geschätzter Mittelwert im Stratum \(h\,\)
\(n\,\)	Stichprobenumfang
\(n_h\,\)	Stichprobenumfang in Stratum \(h\,\)
\(S^2_h\,\)	Stichprobenvarianz in Stratum \(h\,\)
\(\tau\,\)	Total
\(\tau_h\,\)	Total in Stratum \(h\,\)
\(\hat \tau_h\,\)	Geschätztes Total in Stratum \(h\,\)

Schätzer des Mittelwertes

Der Schätzer des Mittelwertes für die Stratifizierte Stichprobe ergibt sich analog zu den oben dargestellten Überlegungen als:

\[\bar y = \sum_{h=1}^L \frac{N_h}{N} \bar y_h = \frac {1}{N} \sum_{h=1}^L N_h \bar y_h\,\]

Varianzschätzer

Der Varianzschätzer für eine Auswahl ohne Zurücklegen kann wie folgt hergeleitet werden:

\[\hat {var} (\bar y) = \sum_{h=1}^L \left\lbrace \left( \frac {N_h}{N} \right)^2 \hat {var} (\bar y_h) \right\rbrace = \frac{1}{N^2} \sum_{h=1}^L N^2_h \frac {N_h-n_h}{N_h} \frac {S^2_h}{n_h}\].

Hierbei ist \(N_h-n_h/N_h\,\) eine Endlichkeitskorrektur, die nur dann verwendet wird, wenn die Straten klein bzw. das Verhältnis zwischen Stichprobenumfang und Populationsumfang größer als 0,05 ist (Akca 2001).

Beachte: Eine Endlichkeitskorrektur ist immer dann nötig, wenn Ziehen ohne Zurücklegen verwendet wird und der Populationsumfang durch 
die Stichprobenziehung in bemerkenswertem Umfang verringert wird. Hierdurch ändern sich die Auswahlwahrscheinlichkeiten bei jedem ziehen 
eines Stichprobenelementes, was durch die Endlichkeitskorrektur ausgeglichen wird.

Ohne die Endlichkeitskorrektur ergibt sich also:

\[\hat {var} (\bar y) = \frac{1}{N^2} \sum_{h=1}^L N^2_h \frac {S^2_h}{n_h}\].

Schätzer des Total

\[\hat\tau = N\bar y = \sum_{h=1}^L \frac {N_h}{N} \hat \tau_h = \sum_{h=1}^L N_h \bar y_h\,\]

Die Varianz des Total ist demnach:

\[\hat{var}(\hat {\tau}) = \hat{var}(N \bar y) = N^2 \hat{var}(\bar y)\]

Stichprobenumfang

Bei der Herleitung des nötigen Stichprobenumfangs, der immer durch den vogegebenen zulässigen Fehler, das statistische Sicherungsniveau und durch die Variabilität innerhalb der Population beeinflusst wird, muss bedacht werden, dass die Varianz in den einzelnen Straten unterschiedlich ist. Diese unterschiedlichen Varianzen müssen demnach (gewichtet) in die Berechnung des nötigen Stichprobenumfangs eingehen.

Der "nötige" Stichprobenumfang ist die geschätzte Anzahl von Stichproben, die man benötigt, um ein vorgegebenen Fehler mit einem 
vorgegeben statistischen Sicherungsniveau einzuhalten. Das Sicherungsniveau ergibt sich aus der Irrtumswahrscheinlichkeit alpha, zu der 
ein t-Wert aus der Student-t Verteilung gehört. Der Vorgegebe zulässige Fehler A ist bei Waldinventuren oft mit 10% angegeben.

Vergleiche die Folgende Formel auch mit der für die einfache Zufallsstichprobe:

\[n = \frac {t^2 \sum \frac {N^2_h S^2_h}{w_h}}{N^2 A^2}\,\],

wobei \(w_h = n_h/N,\), also der Anteil des Stichprobenumfangs, der in Stratum \(h\) fällt.

Bemerkung: Für die Berechnung des Gesamtstichprobenumfangs ist es nötig, vorher zu wissen, wie groß der Anteil bzw. wie hoch die 
Anzahl in einzelnen Straten ist?! Das hört sich zunächst unlogisch an, da wir ja gerade die Anzahl nötiger Stichproben berechnen 
wollen.  
Bedenkt man aber, dass es hier darum geht, den erwarteten Fehler in jedem Stratum einzubeziehen, ist es logisch, dass wir eine Vorgabe 
für die Anzahl der Stichproben benötigen. 

Hierzu muss die Zuteilung der Stichproben zu einzelnen Straten vorher definiert werden.

Verteilung der Stichproben auf Straten

Bei der Verteilung des Gesamtstichprobenumfangs auf einzelne Straten können verschiedene Kriterien herangezogen werden. Dies sind

• Die Größe eines Stratums (je größer desto mehr Stichproben)
• Die Variabilität innerhalb eines Stratums (je höher desto mehr Stichproben)
• Die Kosten der Inventur, die zwischen den Straten variieren kann (Je höher desto weniger Stichproben).

Für den Fall, dass alle Straten gleich groß sind (gleiche Flächenanteile) und die Variabilität innerhalb der Straten gleich hoch ist, kann

\[n_h = \frac {n}{L}\,\],

also eine Gleichverteilung der Stichproben auf die einzelnen Straten, verwendet werden. Wie oben erwähnt würde die Stratifizierung hier jedoch keine statistischen Vorteile gegenüber einer unstratifizierten Stichprobe mit sich bringen.

Soll die Anzahl der Stichproben proportional zur Größe der Teilpopulationen (z.B. der Flächengröße) ermittelt werden, gilt:

\[n_h = n \frac {N_h}{N}\,\].

Diese Verteilung der Stichproben wird auch als Proportionale Zuteilung bezeichnet. Hierbei wird jedoch die Variabilität inerhalb der Straten nicht berüchsichtigt. Möchte man diese Größe mit berücksichtigen, sind vorab Informationen über die einzelnen Straten notwendig. Informationen über die Varianz könnten z.B. aus einer Voruntersuchung vorliegen. In diesem Fall kann die sog. Neyman - bzw. die Optimale Zuteilung verwendet werden:

\[n_h = n \frac {N_h S^2_h}{\sum_{i=1}^L N_i S^2_i}\,\].

Ergeben sich abweichende Inventurkosten (z.B. aufgrund der Geländebedingungen oder der Bestandesdichte) und ist die Kostenminimierung ein zu berücksichtigendes Ziel der Untersuchung, so können die Kosten in einzelnen Straten (\(c_h\,\) nicht mit den oben genannten Gewichtungsfaktoren zu verwechseln!) einbezogen werden. Hierdurch ergibt sich die Optimale Zuteilung mit Kostenminimierung:

\[n_h = n \frac {\frac {N_h S^2_h}{\sqrt {c_h}}}{\sum_{i=1}^L \frac{N_i S^2_i}{\sqrt {c_i}}}\,\]

Hier wird deutlich, dass man \(n\) benötigt, um die Verteilung zu berechnen. Gleichzeitig braucht man \(n_h\), 
also das Ergebnis dieser Rechnung aber um den Gesamtstichprobenumfang herzuleiten. Dieses Dilemma lässt sich nur durch ein iteratives 
Vorgehen lösen, indem zunächst relative Anteile für die Straten vorgegeben werden (z.B. anhand der Flächengröße) um im nächsten 
Schritt \(n\) zu berechnen.

Praktische Umsetzung

Je nachdem welches Zuteilungsverfahren verwendet werden soll, braucht man für die Stratifizierung folgende Informationen:

• Anzahl der Straten,
• Größe bzw. relativer Anteil der Straten an der Population,
• Schätzungen für die Varianz in den einzelnen Straten,
• Vorinformationen über die erwarteten Aufnahmekosten (z.B. über Zeitbedarf) in den Straten.

Weiterhin muss, wie in jeder Inventur, Die Präzision (A) für den Gesamtmittelwert vorgegeben werden. Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist im allgemeinen mit \(\alpha = 0{,}05\,\) festgelegt.

Auf Grundlage der verfügbaren Informationen kann dann

• ein angemessenes Zuteilungsverfahren gewählt werden,
• die Gewichtung \(w_h\) für einzelne Straten berechnet werden,
• der Gesamtstichprobenumfang hergeleitet werden, und
• die Anzahl der Stichproben für jedes Stratum bestimmt werden.

Kommentare

Wie bereits erwähnt ist die Aufteilung einer Population in einzelne Straten besonders dann sinnvoll, wenn sich dadurch homogenere Teilpopulationen ergeben. D.h., wenn die Variabilität inerhalb der Straten geringer ist als in der Grundgesamtheit und die Unterschiede zwischen den Straten möglichst groß sind. Das Verhältnis zwischen diesen Varianzen ist dabei natürlich auch von der Anzahl der Straten selber abhängig. Je mehr Straten man bildet, desto geringer wird der Unterschied zwischen den Straten sein. Erfahrungswerte zeigen, dass die Bildung von mehr als 6 Straten nicht sinnvoll ist, da das Verfahren dann an Effektivität verliert.

Um eine Stratifizierung durchführen zu können, sind Vorinformationen absolut notwendig. Diese lassen sich teilweise aus Forsteinrchtungsdaten oder mit Hilfe von Fernerkundungsinformationen herleiten. Die Größe unterschiedlicher Bestandestypen kann bei einer offensichtlichen Abgrenzung beispielsweise durch eine Delinierung auf Grundlage von Luftbildern erreicht werden. Der große Vorteil dieses Verfahrens ist sicherlich, dass man einzelne Straten unabhängig behandeln kann. So können z.B. völlig unterschiedliche Inventurdesigns aber auch Plotdesigns verwendung finden. Diese können jeweils unabhängig für die speziellen Gegebenheiten optimiert werden.

Beispiel: Eine Waldfläche besteht aus abgegrenzten Altersklassen, deren Flächen zur Stratifizierung herangezogen werden. Es ist nun 
möglich in jungen und dichten Betsänden kleinere Probekreise zu verwenden, als in den älteren Beständen in einem anderen Stratum. Ebenso 
kann die Stichprobendichte an die Variabilität angepasst werden.

Wenn die Flächengröße (oder ein anderes Stratifizierungskriterium) vorher nicht bekannt ist, können die Informationen auch von einer Stichprobe geschätzt werden. Dieses Vorgehen wird dann als "Double sampling for stratification" bezeichnet.